Das Wort „Planet“ stammt aus dem Griechischen und bedeutet „Wanderer“, und tatsächlich verändern die Planeten ständig ihre Position am Himmel im Verhältnis zu den Sternen. Einer der größten intellektuellen Fortschritte des 16. und 17. Jahrhunderts war die Erkenntnis, dass die Erde auch ein Planet ist, dass sich alle Planeten um die Sonne drehen und dass die Bewegungen der Planeten, die von der Erde aus beobachtet werden, dazu verwendet werden können, ihre Bahnen sehr genau zu bestimmen.
Die erste und zweite dieser Ideen wurden 1543 von Nikolaus Kopernikus in Polen veröffentlicht. Die Gesetze, nach denen sich die Planeten bewegen, wurden zwischen 1601 und 1619 von dem deutschen Astronomen und Mathematiker Johannes Kepler abgeleitet. Er nutzte die (für damalige Verhältnisse) enorme Menge an genauen Daten über die scheinbaren Bewegungen der Planeten, die sein Mentor, der dänische Astronom Tycho Brahe, gesammelt hatte. Durch Versuch und Irrtum entdeckte Kepler drei empirische Gesetze, die die Bewegungen der Planeten genau beschrieben:
Jeder Planet im Sonnensystem bewegt sich auf einer elliptischen Umlaufbahn mit der Sonne in einem der Brennpunkte der Ellipse;
Jeder Planet bewegt sich in einer Ebene, die durch den Mittelpunkt der Sonne verläuft, wobei der Radiusvektor, der die Sonne und den Planeten verbindet, in gleichen Zeitabständen gleiche Flächen überstreicht;
Die Rotationsperioden der Planeten um die Sonne sind proportional zu den Längengraden der großen Halbachsen ihrer Bahnen.
Kepler wusste nicht, warum sich die Planeten auf diese Weise bewegten. Drei Generationen später, als Newton seine Aufmerksamkeit auf die Bewegung der Planeten richtete, stellte er fest, dass jedes der Keplerschen Gesetze abgeleitet werden konnte. Diese Gesetze sind eine Folge der Newtonschen Gesetze der Bewegung und der Schwerkraft. Schauen wir uns an, wie jedes der Keplerschen Gesetze zustande kommt.
Keplers erstes Gesetz
Betrachten wir zunächst die elliptischen Bahnen, die in Keplers erstem Gesetz beschrieben werden. Die längste Dimension ist die Hauptachse mit der halben Länge; diese halbe Länge wird als große Halbachse bezeichnet. Die Summe der Entfernungen von S nach P und von S‘ nach P ist für alle Punkte einer elliptischen Bahn gleich groß. S und S‘ sind die Brennpunkte der Ellipse. Die Sonne befindet sich bei S und der Planet bei P; wir stellen sie als Punkte dar, weil ihre Größe im Vergleich zum Abstand zwischen ihnen sehr klein ist. Im anderen Brennpunkt befindet sich nichts.
Das zweite Keplersche Gesetz
Nach einem kleinen Zeitintervall d t wird die Verbindungslinie zwischen der Sonne S und dem Planeten P um einen Winkel d \theta gedreht. Wir sehen ein schattiertes Dreieck mit der Höhe r, der Basislänge r d \theta und der Fläche dA = \frac{1}{2}r^2d \theta. Die Geschwindigkeit, mit der die Fläche \frac{dA}{dt}{dt} überstrichen wird, nennt man die Sektorgeschwindigkeit:
(1) \begin{equation} \frac{dA}{dt} = \frac{1}{2}r^2\frac{d\theta}{dt} \end{equation}
Drittes Keplersches Gesetz
Die Quadrate der Umlaufzeiten der Planeten um die Sonne stehen im Verhältnis zu den Kuben der großen Halbachsen der Planetenbahnen.
[\frac{T^2_1}{T^2_2} = \frac{r^3_1}{r^3_2}]
Daraus folgt, dass die Periode eines Satelliten oder Planeten auf einer Kreisbahn proportional zum Grad \frac{3}{2} des Bahnradius ist. Newton konnte zeigen, dass dieselbe Beziehung auch für eine elliptische Bahn gilt, indem er den Bahnradius r durch die große Halbachse a ersetzte:
[T = \frac{2 \pi a^{\frac{3}{2}}}{\sqrt{GM}}].
Man beachte, dass die Periode unabhängig von der Exzentrizität e ist. Ein Asteroid auf einer langgestreckten elliptischen Bahn mit der Hauptachse a hat die gleiche Umlaufperiode wie ein Planet auf einer Kreisbahn.
